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Modulo und Ganzzahldivision
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Im folgenden werden vier Fälle unterschieden, um das Vorzeichen des Modulorestes und der Ganzzahldivision zu ermitteln. Die Ermittlung des Vorzeichens von a/b ist natürlich trivial, interessanter ist das Vorzeichen von a%b. Es stellt sich heraus, daß die Javaregeln genau mit der mathematischen Theorie übereinstimmen. Wem die Abhandlung zu abstrakt ist, der springt gleich ans Ende und liest die sehr einfache Zusammenfassung der vier Fälle.


Fall 1 : a>=0 , b>0

Wir gehen zunächst aus von zwei Ganzzahlen a und b und fordern für diese beide Zahlen

a>=0 und b>0

Betrachtet man nun die Zerlegung

a = q*b + r und fordert q>=0 und 0<=r<b

so gibt es genau eine Zerlegung der Art

a = q*b + r wobei q und r eindeutig bestimmt sind.

In dieser Situation nennt man q den Wert der Ganzzahldivision und der Divisionsrest r heißt modulo. Mit den Operatoren, die Java dafür zur Verfügung stellt, schreibt sich das folgendermaßen:

q = a/b >=0   Ganzzahldivision

r = a%b >=0   Rest bei Ganzzahldivision (modulo)

Setzt man jetzt a=0, so ergibt sich sofort, daß q=0 und r=0 sein müssen. Für a>0 ergibt sich q>=0 und r>=0 . Überlegen Sie sich als Übung, wann hier q=0 oder r=0 auftreten.

Zusammenfassung

a>0, b>0 => a/b>=0 , a%b>=0
a=0, b>0 => a/b=0 , a%b=0

Mit den folgenden Ausgaben können sie diese Regel bestätigen

System.out.println("26/7 = " + 26/7 );
System.out.println("26%7 = " + 26%7 );
System.out.println("0/7 = " + 0/7 );
System.out.println("0%7 = " + 0%7 );


Fall 2 : a<=0 , b<0

Wir schreiben die obige Zerlegung mit anderen Variablen und multiplizieren mit -1 :

a1 = q1*b1 + r1   mit   a1>=0 , b1>0 , q1>=0 , r1>=0

-a1 = q1*(-b1) + (-r1)

Dafür schreiben wir nun

a = q*b + r   mit   a<=0 , b<0 , q>=0   und   0>=r>b

Auch diese Zerlegung ist wieder eindeutig und es ergibt sich für a=0 wieder q=0 und r=0, für a<0 ergibt sich q>=0 , r<=0 .

Zusammenfassung

a<0 , b<0   =>   a/b>=0 , a%b<=0
a=0 , b<0   =>   a/b=0 , a%b=0

Mit den folgenden Ausgaben können sie diese Regel bestätigen

System.out.println("-26/-7 = " + (-26/-7) );
System.out.println("-26%-7 = " + (-26%-7) );
System.out.println("0/-7 = " + 0/-7 );
System.out.println("0%-7 = " + 0%-7 );


Fall 3 : a<=0 , b>0

Wir schreiben die erste Zerlegung mit anderen Variablen und multiplizieren mit -1 :

a1 = q1*b1 + r1   mit   a1>=0 , b1>0 , q1>=0 , r1>=0

-a1 = (-q1)*b1 + (-r1)

Dafür schreiben wir nun

a = q*b + r   mit   a<=0 , b>0 , q<=0   und   0>=r>b

Auch diese Zerlegung ist wieder eindeutig und es ergibt sich für a=0 wieder q=0 und r=0, für a<0 ergibt sich q<=0 , r<=0 .

Zusammenfassung

a<0 , b>0   =>   a/b<=0 , a%b<=0
a=0 , b<0   =>   a/b=0 , a%b=0

Mit den folgenden Ausgaben können sie diese Regel bestätigen

System.out.println("-26/7 = " + (-26/7) );
System.out.println("-26%7 = " + (-26%7) );
System.out.println("0/7 = " + 0/7 );
System.out.println("0%7 = " + 0%7 );


Fall 4 : a>=0 , b<0

Wir schreiben die erste Zerlegung mit anderen Variablen und multiplizieren mit -1 :

a1 = q1*b1 + r1 mit a1>=0 , b1>0 , q1>=0, r1>=0

a1 = (-q1)*(-b1) + r1

Dafür schreiben wir nun

a = q*b + r   mit    a>=0 , b<0 , q<=0   und   0<=r<b

Auch diese Zerlegung ist wieder eindeutig und es ergibt sich für a=0 wieder q=0 und r=0, für a>0 ergibt sich q<=0 , r>=0 .

Zusammenfassung

a>0 , b<0   =>   a/b<=0 , a%b>=0
a=0 , b<0   =>   a/b=0 , a%b=0

Mit den folgenden Ausgaben können sie diese Regel bestätigen

System.out.println("26/-7 = " + 26/-7 );
System.out.println("26%-7 = " + 26%-7 );
System.out.println("0/7 = " + 0/7 );
System.out.println("0%7 = " + 0%7 );


Datentypen für a%b

a%b ist für jeden primitiven Datentyp außer boolean sinngemäß berechenbar. So liefert etwa 4.7%1.5 das Ergebnis 0.2 .


Zusammenfassung

Die Zusammenfassung aller Fälle ergibt auch in der Situation a%b eine recht einfache Regel



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